Ejercicio · ZW-INTEGRAL-DE-LINEA-ESCALAR-010 · ★★★ Avanzado
Calcula \(\int_C x^2\,ds\) con \(\mathbf r(t)=\langle\cos 2t,\sin 2t\rangle\), \(0\le t\le\pi\) (la circunferencia recorrida con rapidez \(2\)).
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- D. \(\pi\)
Explicación
\(\|\mathbf r'\|=2\) y \(\int_0^\pi 2\cos^2 2t\,dt=\pi\). Es el mismo valor que con la parametrización estándar, pues la integral depende de la curva y no de la rapidez.
Repasa el concepto: Integral de línea de una función escalar
La integral de línea de una función escalar \(f\) sobre una curva \(C\) parametrizada por \(\mathbf r(t)\), \(a\le t\le b\), acumula los valores de \(f\) ponderados por la longitud de arco \(ds\).
\[\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt\]
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