Ejercicio · ZW-INTEGRAL-DE-RIEMANN-005 · ★★★ Avanzado

Sea \(f=1\) en los racionales y \(f=0\) en los irracionales, sobre \([0,1]\). ¿Es integrable según Riemann?

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  • B. No: la integral inferior es \(0\) y la superior es \(1\)

Explicación

Toda partición tiene \(L=0\) y \(U=1\), así que el supremo de las inferiores (\(0\)) y el ínfimo de las superiores (\(1\)) no coinciden. Ser \(0\) salvo en un conjunto numerable no basta.

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Repasa el concepto: Integral de Riemann

Una función acotada \(f\) en \([a,b]\) es integrable si el supremo \(L(f)\) de sus sumas inferiores y el ínfimo \(U(f)\) de sus sumas superiores, sobre las particiones \(P\), coinciden; ese valor común es su integral.

\[L(f)=\sup_P L(f,P)=\inf_P U(f,P)=U(f)=\int_a^b f(x)\,dx\]

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