Ejercicio · ZW-NUCLEO-E-IMAGEN-010 · ★★★ Avanzado
Sea \(T(x,y)=(x-y,\,2x-2y)\). ¿Qué afirmación describe correctamente su núcleo y su imagen?
Elige una opción.
A El núcleo es la recta \(y=x\) y la imagen es la recta generada por \((1,2)\) B El núcleo es \(\{0\}\) y la imagen es todo \(\mathbb{R}^2\) C El núcleo es la recta \(y=-x\) y la imagen es la recta generada por \((1,2)\) D El núcleo es el eje \(x\) y la imagen es el eje \(y\) Ver respuesta A. El núcleo es la recta \(y=x\) y la imagen es la recta generada por \((1,2)\)← Volver a la pregunta
Explicación \(T(x,y)=(0,0)\) cuando \(x=y\), así que el núcleo es la recta \(y=x\). Además \(T(x,y)=(x-y)(1,2)\), así que la imagen es la recta generada por \((1,2)\).
El núcleo \(\ker T\) de una transformación lineal \(T\) es el conjunto de vectores que ella envía al cero; la imagen \(\operatorname{Im}T\) es el conjunto de todos los vectores que produce.
\[\ker T=\{v: T(v)=0\},\qquad \operatorname{Im}T=\{T(v)\}\]
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