Ejercicio · ZW-PLANO-DE-FASE-005 · ★☆☆ Básico
En el sistema \(x'=y,\ y'=-x\), ¿qué expresión permanece constante a lo largo de cada trayectoria?
Elige una opción.
Ver respuesta
- C. \(x^2+y^2\)
Explicación
\(\frac{d}{dt}(x^2+y^2)=2xx'+2yy'=2xy-2yx=0\). Las trayectorias son circunferencias centradas en el origen.
Repasa el concepto: Plano de fase
Plano de coordenadas \((x,y)\) de un sistema autónomo cuyas velocidades \(f\) y \(g\) no dependen de \(t\); cada solución se dibuja allí como una curva, su trayectoria.
\[x'=f(x,y),\quad y'=g(x,y)\;\Longrightarrow\;\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{g(x,y)}{f(x,y)}\quad(f\neq0)\]
Más ejercicios de plano de fase
- ZW-PLANO-DE-FASE-001 Para x'=x+y,\ y'=x-y, ¿cuál es la pendiente dy/dx de la trayectoria que pasa por (2,1)?
- ZW-PLANO-DE-FASE-002 Para x'=x-2y,\ y'=3x+y, ¿cuál es el vector velocidad (x',y') en el punto (2,1)?
- ZW-PLANO-DE-FASE-003 ¿Cuáles son los equilibrios de x'=x(1-y),\ y'=y(x-1)?
- ZW-PLANO-DE-FASE-004 Las trayectorias de x'=2x,\ y'=y son las curvas:
- ZW-PLANO-DE-FASE-006 Para x'=y,\ y'=x, ¿qué punto está en la misma trayectoria que (1,0)?
- ZW-PLANO-DE-FASE-007 Para x'=-x,\ y'=-2y, ¿qué le ocurre cuando t→∞ a la solución que parte de (1,1)?
- ZW-PLANO-DE-FASE-008 En un sistema autónomo con f y g suaves, ¿pueden cruzarse dos trayectorias distintas en un punto qu…
- ZW-PLANO-DE-FASE-009 Para x'=y,\ y'=-4x, ¿cuál de estos puntos está en la trayectoria que pasa por (1,0)?