Para \(a_n=\frac{n}{n+1}\), que converge a \(1\), y \(\varepsilon=\frac1{1000}\), ¿cuál es el menor \(N\) tal que \(|a_n-1|<\varepsilon\) para todo \(n\ge N\)?
\(|a_n-1|=\frac1{n+1}<\frac1{1000}\) equivale a \(n+1>1000\), es decir \(n\ge1000\). Con \(n=999\) se tiene exactamente \(\frac1{1000}\), que no es menor.
Una sucesión \((a_n)\) converge a un número \(L\) si, para cada tolerancia \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual todos los términos distan de \(L\) menos que \(\varepsilon\).