Ejercicio · ZW-SUCESION-DE-CAUCHY-005 · ★☆☆ Básico
¿Cuál afirmación es verdadera en \(\mathbb R\)?
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- B. Toda sucesión convergente es de Cauchy
Explicación
Si \(a_n\to L\), para \(m,n\) grandes ambos términos están a menos de \(\varepsilon/2\) de \(L\) y entre sí a menos de \(\varepsilon\). Fallan las otras: \((-1)^n\) es acotada sin ser de Cauchy, y \(\sqrt n\) cumple \(a_{n+1}-a_n\to0\) pero crece sin cota.
Repasa el concepto: Sucesión de Cauchy
Una sucesión \((a_n)\) es de Cauchy si, para cada \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual cualesquiera dos términos distan entre sí menos que \(\varepsilon\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m,n\ge N\Rightarrow|a_m-a_n|<\varepsilon\]
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