Ejercicio · ZW-SUCESION-DE-CAUCHY-008 · ★★☆ Intermedio
¿Por qué \(a_n=(-1)^n\) no es de Cauchy?
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- A. Para \(\varepsilon=1\) y cualquier \(N\) hay \(m,n\ge N\) con \(|a_m-a_n|=2\)
Explicación
Dos términos consecutivos siempre están a distancia \(2\ge1\), así que ningún \(N\) hace todas las distancias menores que \(1\). Ser monótona o positiva no tiene que ver; y \(|a_{n+1}-a_n|=2\), no tiende a \(0\).
Repasa el concepto: Sucesión de Cauchy
Una sucesión \((a_n)\) es de Cauchy si, para cada \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual cualesquiera dos términos distan entre sí menos que \(\varepsilon\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m,n\ge N\Rightarrow|a_m-a_n|<\varepsilon\]
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