Ejercicio · ZW-SUCESION-DE-CAUCHY-009 · ★★★ Avanzado
Una sucesión de Cauchy \((a_n)\) tiene una subsucesión que converge a \(L\). ¿Qué se concluye?
Elige una opción.
Ver respuesta
- B. \(a_n\to L\) (toda la sucesión)
Explicación
Dado \(\varepsilon\), los términos con índices grandes están a menos de \(\varepsilon/2\) entre sí, y algún término de la subsucesión está a menos de \(\varepsilon/2\) de \(L\); por la desigualdad triangular todos quedan a menos de \(\varepsilon\) de \(L\).
Repasa el concepto: Sucesión de Cauchy
Una sucesión \((a_n)\) es de Cauchy si, para cada \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual cualesquiera dos términos distan entre sí menos que \(\varepsilon\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m,n\ge N\Rightarrow|a_m-a_n|<\varepsilon\]
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