\(|e^{f}|=e^{\operatorname{Re}f}\le1\), y \(e^{f}\) es entera. Es constante, y de ahí \(f\) lo es. \(f^2\) y \(\bar f\) no tienen por qué estar acotadas; \(1/f\) puede tener polos.
El teorema de Liouville dice que toda función entera \(f\), es decir, holomorfa en todo el plano, que esté acotada por una constante \(M\) es constante.