Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-LIOUVILLE-006 · ★★☆ Intermedio
Si \(f\) es entera con \(|f(z)|\le M\) y se usa \(|f'(z_0)|\le M/R\) para toda \(R>0\), ¿qué se concluye sobre \(f'(z_0)\)?
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- C. \(f'(z_0)=0\)
Explicación
Haciendo \(R\to\infty\), \(M/R\to0\), así que \(f'(z_0)=0\) en todo punto. Una función con derivada nula en todo \(\mathbb{C}\) es constante; esta es la demostración de Liouville.
Repasa el concepto: Teorema de Liouville
El teorema de Liouville dice que toda función entera \(f\), es decir, holomorfa en todo el plano, que esté acotada por una constante \(M\) es constante.
\[|f(z)|\le M\ \ \forall z\in\mathbb{C}\ \Longrightarrow\ f\ \text{constante}\]
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