Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-010 · ★★★ Avanzado
Calcula \(\oint_{|z|=1}e^{1/z}\,dz\) en sentido positivo (la singularidad en \(0\) no es un polo).
Elige una opción.
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- B. \(2\pi i\)
Explicación
El teorema sirve para cualquier singularidad aislada. De \(e^{1/z}=1+z^{-1}+\tfrac{1}{2}z^{-2}+\dots\) el coeficiente de \(z^{-1}\) es \(1\), luego la integral vale \(2\pi i\).
Repasa el concepto: Teorema de los residuos
Si \(f\) es holomorfa sobre un contorno cerrado simple \(\gamma\) y dentro de él salvo en singularidades aisladas \(z_k\), su integral sobre \(\gamma\) es \(2\pi i\) por la suma de sus residuos en ellas.
\[\oint_{\gamma} f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k}\operatorname{Res}(f,z_k)\]
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