Ejercicio · ZW-TEOREMA-FUNDAMENTAL-DEL-ALGEBRA-007 · ★★☆ Intermedio
¿Cuál de estas afirmaciones sobre polinomios y raíces complejas es verdadera?
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A \(z^2+1\) no tiene raíces en \(\mathbb{C}\) B \(\mathbb{R}\) es algebraicamente cerrado C Las raíces complejas de un polinomio real nunca vienen en pares D Todo polinomio real de grado \(n\) tiene \(n\) raíces complejas con multiplicidad Ver respuesta D. Todo polinomio real de grado \(n\) tiene \(n\) raíces complejas con multiplicidad← Volver a la pregunta
Explicación Es justo el teorema. \(z^2+1\) tiene \(\pm i\), \(\mathbb{R}\) no es cerrado (\(x^2+1\)) y las no reales sí vienen en pares conjugados .
Todo polinomio \(p\) no constante con coeficientes complejos, de grado \(n\), tiene al menos una raíz en \(\mathbb{C}\); por tanto se descompone en \(n\) factores lineales \(z-z_k\), con coeficiente principal \(a_n\).
\[p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)\]
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