Ejercicio · ZW-TEOREMA-FUNDAMENTAL-DEL-ALGEBRA-009 · ★★★ Avanzado
En la prueba por Liouville, si \(p\) no tuviera raíces, ¿qué función sería entera y acotada?
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- C. \(1/p\)
Explicación
\(1/p\) sería entera (no hay ceros que den polos) y \(|1/p(z)|\to0\) cuando \(|z|\to\infty\), luego acotada; por Liouville sería constante, y \(p\) también: contradicción.
Repasa el concepto: Teorema fundamental del álgebra
Todo polinomio \(p\) no constante con coeficientes complejos, de grado \(n\), tiene al menos una raíz en \(\mathbb{C}\); por tanto se descompone en \(n\) factores lineales \(z-z_k\), con coeficiente principal \(a_n\).
\[p(z)=a_n\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)\]
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