Derivadas · Definición

Derivación implícita

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Antes de empezar necesitas conocer

Hay curvas, como la circunferencia, que no son gráficas de una sola función de \(x\). La derivación implícita permite hallar \(\frac{dy}{dx}\) sin despejar \(y\).

Definición

Cuando \(y\) está definida implícitamente por una ecuación en \(x\) e \(y\), se derivan ambos lados respecto de \(x\), recordando que \(y\) depende de \(x\) (regla de la cadena), y luego se despeja \(\frac{dy}{dx}\).

\[x^{2}+y^{2}=25\ \Rightarrow\ 2x+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{y}\]

A veces \(y\) no está despejada: por ejemplo, el círculo \(x^2+y^2=25\). Aun así, cerca de un punto \(y\) es función de \(x\), y podemos derivar ambos lados respecto de \(x\) tratando \(y\) como función de \(x\).

Cada vez que derives un término con \(y\), la regla de la cadena agrega un factor \(y'\) (o \(dy/dx\)). Al final se despeja \(y'\).

Es la herramienta para hallar tangentes de curvas que no son gráficas de una sola función y para derivar \(\ln\) y raíces generales.

Para pensar

Halla \(y'\) en \(x^2+y^2=25\).

\(2x+2yy'=0\), así que \(y'=-x/y\).

Ejercicios 10

  1. Si \(x^{2}+y^{2}=25\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?
  2. Si \(xy=1\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?
  3. Si \(x^{3}+y^{3}=6xy\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?
  4. Si \(\sin y=x\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?
  5. Si \(x^{2}+xy+y^{2}=7\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?
  6. Si \(x^{2}-y^{2}=4\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?
  7. Si \(y^{2}=2x\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?
  8. Si \(e^{y}=x\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?
  9. Si \(xy^{2}=8\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?
  10. Si \(x^{2}+y=3\), ¿cuánto vale \(\dfrac{dy}{dx}\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.