Integrales · Definición
Integración por partes
Antes de empezar necesitas conocer
Técnica que invierte la regla del producto para integrar productos de funciones.
Definición
La integración por partes es una técnica para integrar productos de funciones, derivada de la regla del producto. Transforma \(\int u\,dv\) en \(uv-\int v\,du\).
La integración por partes es la regla del producto al revés: \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\). Se usa cuando el integrando es un producto de dos tipos de función (por ejemplo, polinomio por exponencial).
La clave es elegir bien \(u\) (lo que se simplifica al derivar) y \(dv\) (lo que sabes integrar). Un orden útil: logarítmica, inversa trigonométrica, algebraica, trigonométrica, exponencial (LIATE).
A veces hay que aplicarla dos veces, y en algunos casos vuelve a aparecer la integral original, que se despeja.
Para pensar
Calcula \(\int x\,e^x\,dx\).
Con \(u=x\), \(dv=e^x\,dx\): \(xe^x-e^x+C\).
Ejercicios 10
Calcula las siguientes integrales
- \(\displaystyle \int x e^{x}\,dx\)
- \(\displaystyle \int x \sin {x}\,dx\)
- \(\displaystyle \int \ln{\left(x \right)}\,dx\)
- \(\displaystyle \int x^{2} e^{x}\,dx\)
- \(\displaystyle \int x \cos {x}\,dx\)
Problemas
- Al calcular \(\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx\) por partes, ¿qué elección de u y dv es la adecuada?
- ¿Cuál es la fórmula de integración por partes?
- Según la regla LIATE, ¿qué familia de funciones conviene elegir primero como \(u\)?
- ¿Qué elección de \(u\) y \(dv\) es adecuada para \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\)?
- Si \(u=x\) y \(dv=\cos x\,dx\), ¿cuáles son \(du\) y \(v\)?
Referencias
- James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.