Límites · Definición

Límites trigonométricos notables

cálculolímitestrigonometría

Antes de empezar necesitas conocer

Dos límites con seno y coseno que sirven para resolver muchos otros límites trigonométricos.

Definición

Dos límites básicos en radianes: \(\frac{\sin x}{x}\) tiende a \(1\) y \(\frac{1-\cos x}{x}\) tiende a \(0\) cuando \(x\) tiende a \(0\).

\[\begin{gathered}\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\\ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0\end{gathered}\]

Hay unos pocos límites que se demuestran una vez (con el teorema del sándwich y geometría) y se reutilizan constantemente. El más famoso es \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\); su pariente \(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0\).

Su importancia es que de ellos salen las derivadas de seno y coseno. Sin este límite, no habría fórmula para la derivada de \(\sin x\).

Un truco habitual: para \(\lim_{x\to0}\frac{\sin(kx)}{x}\) multiplica y divide por \(k\) para reconocer \(\frac{\sin u}{u}\) con \(u=kx\).

Para pensar

¿Cuánto vale \(\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}\)?

Vale 3: se reescribe como \(3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}\) y el factor tiende a 1.

Ejercicios 11

Calcula los siguientes límites

  1. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin {3 x}}{x}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin {5 x}}{2 x}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{\tan {4 x}}{x}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos {x}}{x^{2}}\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin {2 x}}{\sin {3 x}}\)
  6. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin {7x}}{x}\)
  7. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin {4x}}{8x}\)
  8. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{1-\cos {2x}}{x^{2}}\)
  9. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{x}{\sin {3x}}\)
  10. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{\tan {2x}}{\sin {5x}}\)
  11. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\,\frac{\sin {x^{2}}}{1-\cos {x}}\)

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.