Aplicaciones de la derivada · Definición

Razones de cambio relacionadas

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Antes de empezar necesitas conocer

Las razones relacionadas permiten hallar la rapidez de cambio de una cantidad a partir de la de otra, cuando ambas están ligadas por una ecuación.

Definición

En un problema de razones relacionadas, varias cantidades que cambian con el tiempo \(t\) están ligadas por una ecuación que se deriva respecto de \(t\).

\[A=\pi r^{2}\ \Rightarrow\ \frac{dA}{dt}=2\pi r\,\frac{dr}{dt}\]

Si dos cantidades están ligadas por una ecuación y ambas cambian con el tiempo, sus ritmos de cambio también están ligados. Derivando la ecuación respecto del tiempo obtienes esa relación.

Pasos: dibuja y nombra variables, escribe la ecuación que las relaciona, deriva respecto de t (con regla de la cadena) y solo al final sustituye los valores del instante.

Error típico: sustituir números antes de derivar; así se pierde la variación.

Para pensar

¿Cuándo se sustituyen los valores numéricos en un problema de razones relacionadas?

Después de derivar respecto del tiempo, no antes.

Ejercicios 10

  1. El radio de un círculo crece a 2 cm/s. ¿Con qué rapidez crece el área cuando \(r = 5\) cm?
  2. El radio de una esfera crece a \(\frac{1}{2}\) cm/s. ¿Con qué rapidez crece el volumen cuando \(r = 3\) cm?
  3. Una escalera de 13 m está apoyada en una pared. Su base se aleja de la pared a 2 m/s. ¿Con qué rapidez baja la parte superior cuando la base está a 5 m de la pared? (en m/s)
  4. La arista de un cubo crece a 1 cm/s. ¿Con qué rapidez crece el volumen cuando la arista mide 4 cm?
  5. El lado de un cuadrado crece a \(3\) cm/s. ¿Con qué rapidez crece su área cuando \(s = 2\) cm?
  6. El radio de una circunferencia crece a \(1\) cm/s. ¿Con qué rapidez crece su longitud? (en cm/s)
  7. Un rectángulo tiene largo \(x=4\) m y ancho \(y=3\) m. El largo crece a \(1\) m/s y el ancho disminuye a \(2\) m/s. ¿Con qué rapidez cambia el área en ese instante? (en m²/s)
  8. El radio de una esfera mide \(2\) cm y crece a \(\frac{1}{2}\) cm/s. ¿Con qué rapidez crece su área superficial? (en cm²/s)
  9. El lado de un cuadrado crece a \(2\) cm/s. ¿Con qué rapidez crece su perímetro? (en cm/s)
  10. Un coche avanza \(3\) km al este de un cruce y otro \(4\) km al norte. El primero se aleja a \(2\) km/h y el segundo a \(3\) km/h. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre ellos? (en km/h)

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.