Integrales · Definición

Integración por sustitución

cálculointegrales

Antes de empezar necesitas conocer

Conviene cuando el integrando es una función compuesta multiplicada por la derivada de su parte interior: el cambio \(u=g(x)\) la vuelve una integral más simple.

Definición

Técnica que simplifica una integral mediante el cambio de variable \(u=g(x)\), \(du=g^{\prime}(x)\,dx\).

\[\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du\]

La sustitución es la regla de la cadena al revés. Si dentro del integrando ves una función y, multiplicando, su derivada, cambia a una variable nueva: con \(u=g(x)\) y \(du=g'(x)\,dx\) la integral se vuelve más simple.

Ejemplo: \(\int 2x\cos(x^2)\,dx\). Con \(u=x^2\), \(du=2x\,dx\) y queda \(\int\cos u\,du=\sin(x^2)+C\).

Error típico: olvidar reemplazar \(dx\) por \(du\) o no cambiar los límites en una integral definida; el resultado queda mal.

Para pensar

Calcula \(\int 2x\,e^{x^2}\,dx\).

Con \(u=x^2\): \(e^{u}+C=e^{x^2}+C\).

Ejercicios 10

Calcula las siguientes integrales

  1. \(\displaystyle \int 2 x \cos {x^{2}}\,dx\)
  2. \(\displaystyle \int x e^{x^{2}}\,dx\)
  3. \(\displaystyle \int \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1}\,dx\)
  4. \(\displaystyle \int \sin {x} \cos^{2} {x}\,dx\)
  5. \(\displaystyle \int \left(2 x + 1\right) \left(x^{2} + x\right)^{4}\,dx\)
  6. \(\displaystyle \int e^{3 x}\,dx\)
  7. \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}}\,dx\)
  8. \(\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx\)

Problemas

  1. ¿Cuándo conviene usar integración por sustitución?
  2. Si \(u=g(x)\), ¿cuál es la diferencial \(du\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.