Límites · Definición

Límites laterales

cálculolímites

Antes de empezar necesitas conocer

Los límites laterales miden qué hace f cuando x se acerca a a por un solo lado.

Definición

El límite por la izquierda considera solo valores \(x<a\) y el límite por la derecha solo valores \(x>a\). El límite de \(f\) en \(a\) existe, y vale \(L\), si y solo si ambos límites laterales existen y son iguales.

\[\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L\]

Acercarse a \(a\) se puede hacer desde dos lados: por la izquierda (\(x<a\)) y por la derecha (\(x>a\)). Cada camino tiene su propio límite lateral.

El límite «completo» existe solo cuando ambos coinciden. Por eso en una función por tramos, o con valor absoluto, conviene calcular los dos lados por separado antes de concluir.

Un ejemplo útil: \(\frac{|x|}{x}\) vale \(-1\) a la izquierda de 0 y \(1\) a la derecha. Cada lateral existe, pero no coinciden, así que el límite no existe.

Para pensar

Si el límite por la izquierda es 3 y por la derecha es 5, ¿existe el límite?

No: los límites laterales existen pero son distintos.

Ejercicios 10

Calcula los siguientes límites

  1. \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\,\frac{\left|{x}\right|}{x}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\,\frac{\left|{x}\right|}{x}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\to 2^+}\,\frac{1}{x - 2}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\to 2^-}\,\frac{1}{x - 2}\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\,\frac{1}{x^{2}}\)
  6. \(\displaystyle \lim_{x\to 1^-}(2x+1)\)
  7. \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\,\frac{\sin x}{|x|}\)

Problemas

  1. Para que \(\lim_{x\to a} f(x)\) exista es necesario y suficiente que...
  2. Sea \(f(x)=x+1\) si \(x<2\) y \(f(x)=x^2-1\) si \(x\ge 2\). Calcula \(\lim_{x\to 2} f(x)\).
  3. Si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=2\) y \(\lim_{x\to a^+}f(x)=5\), ¿existe \(\lim_{x\to a}f(x)\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.