Continuidad de funciones · Definición

Tipos de discontinuidad

cálculocontinuidad

Antes de empezar necesitas conocer

Una función es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Si esa igualdad falla, hay una discontinuidad en \(a\).

Definición

Una función es discontinua en \(a\) cuando falla alguna condición de continuidad. Puede ser evitable, de salto o infinita.

\[\lim_{x\to a^-}f(x)\neq\lim_{x\to a^+}f(x)\\ \Rightarrow\ \text{discontinuidad de salto}\]

Cuando falla alguna de las tres condiciones de continuidad, hay una discontinuidad. Se clasifican según qué falla: removible (el límite existe pero no coincide con el valor), de salto (laterales distintos) o infinita (la función se dispara).

La removible se «arregla» redefiniendo el valor en ese único punto; las otras no tienen arreglo.

Clasificarlas es un ejercicio de límites laterales: calcula los dos lados y compáralos con el valor de la función.

Para pensar

¿Qué tipo de discontinuidad es la de (x²−1)/(x−1) en x = 1?

Removible: el límite existe (2) pero la función no está definida en 1.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene \(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\) en \(x=1\)?
  2. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene \(f(x)=\dfrac{|x|}{x}\) en \(x=0\)?
  3. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene \(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) en \(x=2\)?
  4. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) en \(x=0\)?
  5. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene \(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\) en \(x=0\)?
  6. Una función tiene \(\lim_{x\to 2}f(x)=5\) pero \(f(2)=3\). ¿Qué tipo de discontinuidad tiene en \(x=2\)?
  7. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene \(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\) en \(x=2\)?
  8. Sea \(f(x)=\begin{cases}x+1 & x<0\\ x^{2}+2 & x\ge 0\end{cases}\). ¿Qué tipo de discontinuidad tiene en \(x=0\)?
  9. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene \(f(x)=\tan x\) en \(x=\dfrac{\pi}{2}\)?
  10. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene \(f(x)=\dfrac{\sin 3x}{x}\) en \(x=0\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.