Límites · Definición

Leyes de los límites

cálculolímites

Antes de empezar necesitas conocer

Las leyes de los límites explican cómo se combinan los límites de funciones sencillas, para no tener que aplicar la definición formal cada vez.

Definición

Si \(\lim_{x\to a} f(x)\) y \(\lim_{x\to a} g(x)\) existen, el límite de su suma, diferencia, producto o cociente (con denominador no nulo) es la misma operación aplicada a los límites.

\[\lim_{x\to a}[f(x)\,g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)\]

Calcular límites con épsilon y delta cada vez sería agotador. Las leyes de los límites permiten descomponer: el límite de una suma es la suma de los límites, el del producto es el producto, y el del cociente es el cociente siempre que el denominador no tienda a 0.

En la práctica significa que, para funciones «amables» (polinomios, racionales con denominador distinto de 0), basta sustituir \(x=a\). Cuando la sustitución da algo raro como \(0/0\), las leyes no alcanzan y hay que simplificar primero.

Cada ley pide que los límites parciales existan. Antes de separar un límite en pedazos, comprueba que cada pedazo converge.

Para pensar

¿Qué condición necesita la ley del cociente?

Que el límite del denominador sea distinto de 0 (y que ambos límites existan).

Ejercicios 10

Calcula los siguientes límites

  1. \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\,\left(x^{2} + 3 x - 1\right)\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to 4}\,\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\to 3}\,\frac{x^{2} + 1}{x - 1}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\to 4}\,\sqrt{x} \left(x - 1\right)\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\to 2}\,\frac{x^{2}-4}{x-2}\)
  6. \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\left[\frac{x^{2}-1}{x-1}+\frac{2}{x+1}\right]\)

Problemas

  1. Según la ley del producto, ¿a qué es igual \(\lim_{x\to a}[f(x)\,g(x)]\) si ambos límites existen?
  2. ¿Qué exige la ley del cociente, además de que existan los límites del numerador y del denominador?
  3. ¿Cuándo basta sustituir \(x=a\) para obtener el límite de una función?
  4. ¿Puede aplicarse la ley del cociente a \(\lim_{x\to 3}\frac{x+1}{x-3}\)?

Después de esto

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.