Límites · Definición

Asíntotas

cálculolímitesgráficas

Antes de empezar necesitas conocer

Las asíntotas son rectas que guían la forma de una gráfica lejos de sus puntos problemáticos.

Definición

Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca sin tocarla. La recta \(x=a\) es vertical si \(f\) tiende a \(\pm\infty\) cuando \(x\to a\); la recta \(y=L\) es horizontal si \(f(x)\to L\) cuando \(x\to\pm\infty\).

\[\begin{gathered}x=a:\ \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\\ y=L:\ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L\end{gathered}\]

Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca sin tocarla en el límite. Las verticales aparecen donde la función se dispara (límite infinito en un punto) y las horizontales describen el comportamiento en \(\pm\infty\).

Por eso se calculan con límites laterales y límites en el infinito: son la lectura geométrica de los dos conceptos anteriores.

Una función puede cruzar su asíntota horizontal en puntos finitos; lo que importa es lo que ocurre «muy lejos».

Para pensar

¿Dónde está la asíntota vertical de \(\frac{1}{x-2}\)?

En x = 2, porque ahí el denominador se anula y los límites laterales son infinitos.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuáles son las asíntotas de \(f(x)=\frac{2 x + 1}{x - 3}\)?
  2. ¿Cuáles son las asíntotas de \(f(x)=\frac{3 x}{x + 2}\)?
  3. ¿Cuáles son las asíntotas de \(f(x)=\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}\)?
  4. ¿Cuáles son las asíntotas de \(f(x)=\frac{1}{x+5}\)?
  5. ¿Qué es una asíntota vertical de \(f\) en \(x=a\)?
  6. ¿Cuáles son las asíntotas de \(f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-1}\)?
  7. ¿Cuáles son las asíntotas de \(f(x)=\frac{2}{(x-1)^{2}}\)?
  8. ¿Qué afirmación sobre \(f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\) es correcta?
  9. ¿Qué significa \(\lim_{x\to\infty}f(x)=L\)?
  10. ¿Cuáles son las asíntotas de \(f(x)=\frac{3x+6}{x^{2}-x-6}\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.