Derivadas · Definición

Regla del cociente

cálculoderivadas

Antes de empezar necesitas conocer

La regla del cociente permite derivar una fracción de dos funciones sin simplificarla antes.

Definición

La derivada de un cociente \(\frac{f}{g}\), con \(g\ne0\), es \(\frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}\).

\[\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-f\,g'}{g^{2}}\]

Para un cociente, \(\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\). El orden del numerador importa: primero la derivada del de arriba por el de abajo, luego se resta.

Ejemplo guía: con \(u=x^{2}+1\) y \(v=x-1\), \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{2x(x-1)-(x^{2}+1)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}}\).

Error típico: escribir \(f'g+fg'\) en el numerador o dividir entre \(g\) en vez de \(g^{2}\). El signo menos y el orden importan, así que revisa ambos.

Para pensar

Deriva \(\frac{x}{x+1}\).

\(\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\).

Ejercicios 10

Deriva las siguientes funciones

  1. \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x + 1}\)
  2. \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin {x}}{x}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\frac{x^{2} + 1}{x - 1}\)
  4. \(\displaystyle f(x)=\frac{e^{x}}{x}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\)

Problemas

  1. En la regla del cociente \(\left(\dfrac{f}{g}\right)'\), ¿cuál es el numerador correcto?
  2. Según la regla del cociente, ¿qué aparece en el denominador de \(\left(\frac{f}{g}\right)'\)?
  3. Calcula \(f'(1)\) si \(f(x)=\frac{x^{3}}{x+2}\).
  4. ¿Qué regla de derivación se usa para derivar un cociente \(\frac{f}{g}\) de dos funciones?
  5. Calcula \(f'(1)\) si \(f(x)=\frac{2x+1}{x^{2}}\).

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.