Límites · Definición

Límites al infinito

cálculolímites

Antes de empezar necesitas conocer

Hasta ahora has estudiado límites cuando \(x\) se acerca a un número. Aquí miras qué ocurre con \(f(x)\) cuando \(x\) crece sin cota.

Definición

El límite de \(f\) cuando \(x\) tiende a infinito describe qué ocurre con \(f(x)\) cuando \(x\) crece sin cota. En un cociente de polinomios, el resultado lo decide el cociente de los términos de mayor grado.

\[\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^{n}+\cdots}{b_n x^{n}+\cdots}=\frac{a_n}{b_n}\]

Aquí aparecen dos ideas distintas con el mismo símbolo. Un límite en el infinito (\(x\to\infty\)) pregunta qué pasa «muy lejos». Un límite infinito (\(f(x)\to\infty\)) dice que los valores crecen sin cota cerca de un punto.

Para cocientes de polinomios, lo que decide es el grado: gana el término de mayor grado. Por eso \(\frac{3x^2+1}{5x^2-x}\) tiende a \(3/5\) cuando \(x\to\infty\).

Escribir \(\lim f(x)=\infty\) no significa que el límite «exista» como número; es una forma de describir cómo diverge.

Para pensar

¿A qué tiende \(\frac{2x+1}{x^2}\) cuando \(x\to\infty\)?

A 0: el denominador tiene mayor grado que el numerador.

Ejercicios 10

Calcula los siguientes límites

  1. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{5 x^{2} + 4}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\frac{2 x + 1}{x^{2} + 3}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\frac{4 x^{3} - x}{x^{2} + 1}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\frac{5 x - 3}{2 x + 7}\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}\)
  6. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\frac{x^{2} + x}{3 x^{2} - 1}\)
  7. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}\)
  8. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\left(\sqrt{4 x^{2} + x} - 2 x\right)\)
  9. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\frac{1}{x}\)
  10. \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\,\frac{2 x^{2} + x}{x^{3} - 1}\)

Después de esto

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.