Derivadas · Definición

Derivadas de exponenciales y logaritmos

cálculoderivadasexponenciales

Antes de empezar necesitas conocer

Las exponenciales y los logaritmos tienen derivadas muy simples, sobre todo con la base \(e\).

Definición

La función \(e^x\) es su propia derivada. Para otra base \(a>0\), la derivada de \(a^x\) es \(a^x\ln a\). La derivada de \(\ln x\) es \(\frac{1}{x}\) para \(x>0\), y la de \(\log_a x\) es \(\frac{1}{x\ln a}\).

\[(e^{x})'=e^{x},\quad(a^{x})'=a^{x}\ln a,\quad(\ln x)'=\frac{1}{x}\]

La exponencial \(e^x\) es la función que es su propia derivada: su ritmo de cambio en cada punto es igual a su valor. Esa propiedad define el número \(e\).

Su inversa, \(\ln x\), tiene derivada \(1/x\). Con ellas, \((a^x)'=a^x\ln a\) y \((\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\).

Son el modelo de crecimiento y decaimiento: poblaciones, interés compuesto, radiactividad.

Para pensar

Deriva \(e^{3x}\).

\(3e^{3x}\), por la regla de la cadena.

Ejercicios 10

Deriva las siguientes funciones

  1. \(\displaystyle f(x)=e^{3 x}\)
  2. \(\displaystyle f(x)=2^{x}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\ln{\left(3 x \right)}\)
  4. \(\displaystyle f(x)=5^{x}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=e^{-x}\)
  6. \(\displaystyle f(x)=\log_{3}(x^{2}+1)\)
  7. \(\displaystyle f(x)=\frac{e^{x}}{x}\)

Problemas

  1. Deriva \(f(x)=\ln x\) para \(x>0\).
  2. Deriva \(f(x)=e^{x}\ln x\) para \(x>0\).
  3. Calcula \((e^{x})'\) en \(x=0\).

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.