Límites · Definición

Teorema del sándwich

cálculolímites

Antes de empezar necesitas conocer

Si una función queda entre otras dos con el mismo límite, su límite es ese mismo valor.

Definición

Si \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) cerca de \(a\) y \(g\) y \(h\) tienen límite \(L\) en \(a\), entonces \(f\) también tiene límite \(L\) en \(a\).

\[g\le f\le h,\ \lim_{x\to a}g=\lim_{x\to a}h=L\ \Rightarrow\ \lim_{x\to a}f=L\]

Si una función queda «atrapada» entre otras dos que tienen el mismo límite, no le queda más remedio que irse al mismo lugar. Es la idea del teorema del sándwich (o del emparedado).

Sirve sobre todo para funciones que oscilan, como \(x^2\sin(1/x)\): no hay límite «a mano», pero \(-x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2\) y ambos extremos tienden a 0.

La dificultad práctica es encontrar las cotas correctas: suelen salir de acotar el seno o el coseno entre −1 y 1. Error típico: calcular por separado el límite de \(\sin(1/x)\), que no existe, en lugar de acotar el producto completo. También se conoce como teorema de intercalación.

Para pensar

¿Qué cotas se usan para calcular el límite de \(x^2\sin(1/x)\) en 0?

Se usa \(-1\le\sin(1/x)\le1\), de donde \(-x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2\); ambas cotas tienden a 0.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to 0} x^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\)?
  2. Si \(1-x^{2}\le f(x)\le 1+x^{2}\) para todo x cercano a 0, ¿cuánto vale \(\lim_{x\to 0} f(x)\)?
  3. ¿Qué hipótesis necesita el teorema del sándwich para concluir que \(\lim_{x\to a} f(x)=L\)?
  4. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to 0} x\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\)?
  5. Si \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) cerca de \(a\), \(\lim_{x\to a} g=5\) y \(\lim_{x\to a} h=5\), ¿cuánto vale \(\lim_{x\to a} f(x)\)?
  6. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}\)?
  7. Sea \(\lfloor y\rfloor\) el mayor entero menor o igual que \(y\). ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to 0^{+}} x\lfloor 1/x\rfloor\)?
  8. Sea \(f(x)=x^{2}\sin(1/x)\) para \(x\ne 0\) y \(f(0)=0\). ¿Cuánto vale \(f'(0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}\)?
  9. ¿Qué otro nombre recibe el teorema del sándwich?
  10. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{\cos x+2}{x}\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.