Integrales · Definición
Área entre curvas
Antes de empezar necesitas conocer
Cuando dos curvas delimitan una región, su área se calcula integrando la diferencia entre la curva superior y la inferior.
Definición
El área \(A\) entre las gráficas de \(f\) y \(g\) en \([a,b]\), con \(f\ge g\), es la integral de la diferencia \(f-g\). Si las curvas se cruzan, se divide el intervalo en los puntos de cruce.
El área entre dos curvas es la integral de la «curva de arriba menos la de abajo»: \(\int_a^b (f-g)\,dx\). El cálculo se reduce a decidir quién está arriba y entre qué valores de \(x\).
Primero encuentra los cruces (resuelve \(f=g\)) para saber los límites. Si las curvas se cruzan en medio, divide la integral en tramos, o usa el valor absoluto.
Dibujar un boceto antes de integrar evita la mayoría de errores de signo.
Para pensar
Halla el área entre \(y=x\) y \(y=x^2\) en [0,1].
\(\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\frac12-\frac13=\frac16\).
Ejercicios 10
- Halla el área entre \(y=x\) y \(y=x^{2}\) en \([0,1]\).
- Halla el área entre \(y=2 x\) y \(y=x^{2}\) en \([0,2]\).
- Halla el área entre \(y=\sqrt{x}\) y \(y=x^{2}\) en \([0,1]\).
- Halla el área entre \(y=x + 2\) y \(y=x^{2}\) en \([-1,2]\).
- Halla el área entre \(y=x^{3}\) e \(y=0\) en \([0,1]\).
- Si \(f\ge g\) en \([a,b]\), ¿qué integral da el área entre \(f\) y \(g\) en ese intervalo?
- Halla el área entre \(y=\sin x\) e \(y=0\) en \([0,\pi]\).
- Halla el área entre \(y=x\) e \(y=x^{3}\) en \([0,1]\).
- Halla el área entre \(y=x^{2}\) e \(y=0\) en \([1,2]\).
- Halla el área entre \(y=x\) e \(y=2-x\) en \([0,2]\).
Referencias
- James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.