Derivadas · Definición
Regla de la cadena
Antes de empezar necesitas conocer
La regla de la cadena permite derivar composiciones de funciones, una de las herramientas más usadas del cálculo.
Definición
La derivada de una composición \(f(g(x))\) es la derivada de la función exterior evaluada en la interior, multiplicada por la derivada de la función interior. Es la regla para derivar funciones «dentro de» otras.
Cuando una función está dentro de otra, \(f(g(x))\), los cambios se encadenan: si \(g\) cambia \(g'\) veces más rápido que \(x\) y \(f\) cambia \(f'\) veces más rápido que \(g\), el efecto total es el producto. De ahí \((f\circ g)'=f'(g(x))\,g'(x)\).
Es la regla que más se olvida y la que más se usa: casi toda función real es una composición, como \(\sin(3x)\), \(e^{x^{2}}\) o \((x^{2}+1)^{5}\).
Receta práctica: deriva «la de afuera» dejando la de adentro intacta, y multiplica por la derivada de «la de adentro».
Para pensar
Deriva \((x^2+1)^5\).
\(5(x^2+1)^4\cdot 2x=10x(x^2+1)^4\).
Ejercicios 10
Deriva las siguientes funciones
- \(\displaystyle f(x)=\sin {x^{2}}\)
- \(\displaystyle f(x)=\left(3 x + 1\right)^{5}\)
- \(\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}\)
- \(\displaystyle f(x)=\ln{\left(x^{2} + 1 \right)}\)
- \(\displaystyle f(x)=\sqrt{1 - x^{2}}\)
- \(\displaystyle f(x)=\left(x^{2} + x\right)^{3}\)
- \(\displaystyle f(x)=\cos(\ln(x^{2}+1))\)
- \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\sin x}\)
Problemas
Referencias
- James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
- Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.