Integrales · Definición

Integral indefinida

cálculointegrales

Antes de empezar necesitas conocer

Integrar es el proceso inverso de derivar: la integral indefinida reúne todas las antiderivadas de una función.

Definición

La integral indefinida de \(f\) es la familia de todas sus antiderivadas, escrita con una constante de integración \(C\).

\[\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)\]

Linealidad: \(\int(af+bg)\,dx=a\int f\,dx+b\int g\,dx\); las constantes salen de la integral, por eso se integra término a término.

Ejemplo guía: \(\int(3x^{2}+\frac{1}{x})\,dx=x^{3}+\ln|x|+C\), porque \(\int 3x^{2}\,dx=x^{3}\) y \(\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|\).

Error típico: olvidar la constante \(C\) o escribir \(\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\) sin dividir entre \(n+1\). Para comprobar, deriva el resultado.

Para pensar

Calcula \(\int(3x^2+1)\,dx\).

\(x^3+x+C\).

Ejercicios 11

Calcula las siguientes integrales

  1. \(\displaystyle \int \left(6 x^{2} + 4 x - 5\right)dx\)
  2. \(\displaystyle \int \left(3 x^{3} - 8 x\right)dx\)
  3. \(\displaystyle \int \left(x^{4} + 2 x^{2} + 7\right)dx\)
  4. \(\displaystyle \int \left(4 \sqrt{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)dx\)
  5. \(\displaystyle \int \cos(2x)\,dx\)
  6. \(\displaystyle \int e^{2x}\,dx\)
  7. \(\displaystyle \int 2x\,e^{x^{2}}\,dx\)
  8. \(\displaystyle \int x^{3}\,dx\)
  9. \(\displaystyle \int \operatorname{sen}x\,\cos^{2}x\,dx\)

Problemas

  1. ¿Cuál es el resultado de \(\int \cos x\,dx\)?
  2. Calcula \(\int \frac{x^{2}+1}{x}\,dx\) para \(x>0\).

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.