Ejercicio · ZW-BASE-DE-TOPOLOGIA-007 · ★★☆ Intermedio
En \(\mathbb{R}\) con la topología usual, sea \(\mathcal{B}=\{(p,q):p<q\ \text{racionales}\}\). ¿Cuál afirmación es correcta?
Elige una opción.
A No es base: faltan los intervalos con extremos irracionales B No es base: es numerable y las bases deben ser no numerables C Es base: alrededor de cada punto de un abierto cabe un intervalo de extremos racionales dentro del abierto D Es base solo del subespacio \(\mathbb{Q}\) Ver respuesta C. Es base: alrededor de cada punto de un abierto cabe un intervalo de extremos racionales dentro del abierto← Volver a la pregunta
Explicación Si \(x\in U\) abierto, hay \(\varepsilon>0\) con \((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq U\), y por la densidad de \(\mathbb{Q}\) existe \((p,q)\) con extremos racionales tal que \(x\in(p,q)\subseteq U\). Así \(U\) es unión de miembros de \(\mathcal{B}\).
Una base \(\mathcal{B}\) de una topología \(\mathcal{T}\) sobre \(X\) es una familia de abiertos tal que todo abierto \(U\) de \(\mathcal{T}\) es unión de miembros de \(\mathcal{B}\).
\[\forall U\in\mathcal{T}:\ U=\bigcup\{B\in\mathcal{B}:B\subseteq U\}\]
Más ejercicios de base de una topología ZW-BASE-DE-TOPOLOGIA-001 Sea X=\1,2,3\ con la topología discreta. ¿Cuál de estas familias es una base?ZW-BASE-DE-TOPOLOGIA-002 En ℝ con la topología usual, ¿cuál de estas familias es una base?ZW-BASE-DE-TOPOLOGIA-003 Sea T=\∅,\1\,\1,2\,X\ sobre X=\1,2,3\. ¿Cuántos elementos tiene la base más pequeña de T?ZW-BASE-DE-TOPOLOGIA-004 La familia B=\\1\,\2,3\\ es base de una topología sobre X=\1,2,3\. ¿Cuántos abiertos tiene esa topo…ZW-BASE-DE-TOPOLOGIA-005 ¿Cuál de estas familias de subconjuntos de X=\1,2,3\ NO es base de ninguna topología sobre X?ZW-BASE-DE-TOPOLOGIA-006 Si B es una base de la topología T, ¿cuál afirmación es verdadera?ZW-BASE-DE-TOPOLOGIA-008 Sea B=\\1\,\2\,\3\,\1,2\\ sobre X=\1,2,3\. ¿Qué topología genera?ZW-BASE-DE-TOPOLOGIA-009 Sea B una base de T, UinT y x∈ U. ¿Por qué existe BinB con x∈ B⊆ U?