Hay que reparametrizar cada tramo a \([0,1]\) y empatar en \(t=\tfrac12\): \(\alpha(1)=b=\beta(0)\), así \(\gamma\) es continua. Si se usa \(\beta(2t)\) en el segundo tramo, se sale de \([0,1]\).
Un espacio \(X\) es conexo por caminos si cada par de puntos \(a,b\in X\) se une con un camino: una función continua \(\gamma:[0,1]\to X\) con \(\gamma(0)=a\) y \(\gamma(1)=b\).