Ejercicio · ZW-CONEXO-POR-CAMINOS-003 · ★☆☆ Básico
El espacio \(X=\{1,2,3\}\) con la topología indiscreta, ¿es conexo por caminos?
Elige una opción.
Ver respuesta
- B. Sí, porque toda función \([0,1]\to X\) es continua
Explicación
En la topología indiscreta los únicos abiertos son \(\varnothing\) y \(X\), con preimágenes \(\varnothing\) y \([0,1]\). Así que cualquier función es continua y se unen dos puntos con un camino en dos valores.
Repasa el concepto: Espacio conexo por caminos
Un espacio \(X\) es conexo por caminos si cada par de puntos \(a,b\in X\) se une con un camino: una función continua \(\gamma:[0,1]\to X\) con \(\gamma(0)=a\) y \(\gamma(1)=b\).
\[\forall a,b\in X\ \exists\,\gamma:[0,1]\to X\text{ continua},\ \gamma(0)=a,\ \gamma(1)=b\]
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