Ejercicio · ZW-CONTINUIDAD-UNIFORME-REAL-001 · ★☆☆ Básico
Para \(f(x)=2x\) en \(\mathbb R\), ¿qué \(\delta\) (en función de \(\varepsilon\)) garantiza \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\) cuando \(|x-y|<\delta\)?
Elige una opción.
A \(\delta=\varepsilon\) B \(\delta=\varepsilon/2\) C \(\delta=2\varepsilon\) D \(\delta=\varepsilon^2\) Ver respuesta B. \(\delta=\varepsilon/2\)← Volver a la pregunta
Explicación Como \(|f(x)-f(y)|=2|x-y|\), basta \(|x-y|<\varepsilon/2\). Este \(\delta\) no depende del punto, así que \(f\) es uniformemente continua . Con \(\delta=\varepsilon\) solo se obtendría \(2|x-y|<2\varepsilon\), que no alcanza.
Una función \(f\) es uniformemente continua en un conjunto \(A\) si para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\), válido para todos los puntos a la vez, que controla \(|f(x)-f(y)|\) con \(|x-y|\) en \(A\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ x,y\in A,\ |x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\]
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