Ejercicio · ZW-CONTINUIDAD-UNIFORME-REAL-004 · ★☆☆ Básico
Si \(f\) es uniformemente continua en \(A\) y \((x_n)\) es una sucesión de Cauchy en \(A\), ¿qué se concluye?
Elige una opción.
Ver respuesta
- D. \((f(x_n))\) es de Cauchy.
Explicación
Dado \(\varepsilon\), el \(\delta\) uniforme y un índice con \(|x_n-x_m|<\delta\) dan \(|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon\). Que \((x_n)\) converja en \(A\) no se sigue: el límite puede quedar fuera de \(A\).
Repasa el concepto: Continuidad uniforme
Una función \(f\) es uniformemente continua en un conjunto \(A\) si para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\), válido para todos los puntos a la vez, que controla \(|f(x)-f(y)|\) con \(|x-y|\) en \(A\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ x,y\in A,\ |x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\]
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