Ejercicio · ZW-CONTINUIDAD-UNIFORME-REAL-008 · ★★☆ Intermedio
Sea \(f(x)=x^2\) y \(x_n=n\), \(y_n=n+\tfrac1n\). ¿Cuánto vale \(f(y_n)-f(x_n)\)?
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- D. \(2+\tfrac1{n^2}\)
Explicación
\((n+\tfrac1n)^2-n^2=2+\tfrac1{n^2}\ge2\), aunque \(|y_n-x_n|=\tfrac1n\to0\). Así ningún \(\delta\) sirve para \(\varepsilon=2\): \(x^2\) no es uniformemente continua en \(\mathbb R\).
Repasa el concepto: Continuidad uniforme
Una función \(f\) es uniformemente continua en un conjunto \(A\) si para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\), válido para todos los puntos a la vez, que controla \(|f(x)-f(y)|\) con \(|x-y|\) en \(A\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ x,y\in A,\ |x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\]
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