Ejercicio · ZW-CONTINUIDAD-UNIFORME-REAL-009 · ★★★ Avanzado

Sabiendo que \(|\sqrt x-\sqrt y|\le\sqrt{|x-y|}\) para \(x,y\ge0\), ¿qué \(\delta\) prueba que \(\sqrt x\) es uniformemente continua en \([0,\infty)\)?

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  • B. \(\delta=\varepsilon^2\)

Explicación

Con \(|x-y|<\varepsilon^2\) se obtiene \(|\sqrt x-\sqrt y|\le\sqrt{|x-y|}<\varepsilon\). Con \(\delta=\varepsilon\) solo se llega a \(\sqrt\varepsilon\), que supera a \(\varepsilon\) cuando \(\varepsilon<1\). Nótese que \(\sqrt x\) no es lipschitziana cerca de \(0\), pero sí uniformemente continua.

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Repasa el concepto: Continuidad uniforme

Una función \(f\) es uniformemente continua en un conjunto \(A\) si para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\), válido para todos los puntos a la vez, que controla \(|f(x)-f(y)|\) con \(|x-y|\) en \(A\).

\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ x,y\in A,\ |x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\]

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