Ejercicio · ZW-CONTINUIDAD-UNIFORME-REAL-007 · ★★☆ Intermedio
Para demostrar que \(\sin x\) es uniformemente continua en \(\mathbb R\) se usa \(|\sin x-\sin y|\le|x-y|\). ¿Qué \(\delta\) sirve?
Elige una opción.
A \(\delta=\varepsilon\) B \(\delta=\varepsilon/|x|\) C \(\delta=1\) D Ninguno: no es uniformemente continua Ver respuesta A. \(\delta=\varepsilon\)← Volver a la pregunta
Explicación Si \(|x-y|<\varepsilon\) entonces \(|\sin x-\sin y|\le|x-y|<\varepsilon\), con \(\delta=\varepsilon\) independiente del punto. \(\varepsilon/|x|\) depende de \(x\) y \(\delta=1\) falla para \(\varepsilon<1\).
Una función \(f\) es uniformemente continua en un conjunto \(A\) si para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\), válido para todos los puntos a la vez, que controla \(|f(x)-f(y)|\) con \(|x-y|\) en \(A\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ x,y\in A,\ |x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\]
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