Ejercicio · ZW-CONTINUIDAD-UNIFORME-REAL-003 · ★☆☆ Básico
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
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- A. Toda función continua en \([0,1]\) es uniformemente continua en \([0,1]\).
Explicación
Es el teorema de Heine-Cantor: continua sobre un intervalo cerrado y acotado implica uniformemente continua. Falla en \((0,1)\) con \(1/x\) y en \(\mathbb R\) con \(x^2\), y \(f(x)=x\) es uniformemente continua y derivable.
Repasa el concepto: Continuidad uniforme
Una función \(f\) es uniformemente continua en un conjunto \(A\) si para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\), válido para todos los puntos a la vez, que controla \(|f(x)-f(y)|\) con \(|x-y|\) en \(A\).
\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ x,y\in A,\ |x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\]
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