Ejercicio · ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-006 · ★★☆ Intermedio
Si \(x_n\to x\) y \(x_n\to y\) en un espacio métrico , ¿qué argumento prueba que \(x=y\)?
Elige una opción.
A \(d(x,y)\le d(x,x_n)+d(x_n,y)\), cantidad arbitrariamente pequeña B La simetría de \(d\) C Que \((x_n)\) es acotada D La completitud de \(X\) Ver respuesta A. \(d(x,y)\le d(x,x_n)+d(x_n,y)\), cantidad arbitrariamente pequeña← Volver a la pregunta
Explicación La desigualdad triangular hace que \(d(x,y)\) sea menor que cualquier \(\varepsilon>0\), luego \(d(x,y)=0\) y \(x=y\). No se necesita completitud .
Una sucesión \((x_n)\) en un espacio métrico \((X,d)\) converge a \(x\in X\) si, dado cualquier \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual \(x_n\) dista de \(x\) menos que \(\varepsilon\).
\[\forall\varepsilon>0\ \ \exists N:\ n\ge N\Rightarrow d(x_n,x)<\varepsilon\]
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