Ejercicio · ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-009 · ★★★ Avanzado
¿Cuál afirmación es equivalente a \(x_n\to x\)?
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- B. Toda bola \(B(x,\varepsilon)\) contiene a todos los \(x_n\) salvo un número finito
Explicación
Pertenecer a \(B(x,\varepsilon)\) desde cierto \(N\) es la definición. «Infinitos» es más débil (vale para \((-1)^n\) y \(x=1\)), y \(d(x_n,x_{n+1})\to0\) no asegura que haya límite.
Repasa el concepto: Convergencia en un espacio métrico
Una sucesión \((x_n)\) en un espacio métrico \((X,d)\) converge a \(x\in X\) si, dado cualquier \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual \(x_n\) dista de \(x\) menos que \(\varepsilon\).
\[\forall\varepsilon>0\ \ \exists N:\ n\ge N\Rightarrow d(x_n,x)<\varepsilon\]
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