Ejercicio · ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-007 · ★★☆ Intermedio
Sea \(X=(0,1)\) con la distancia usual y \(x_n=\tfrac1{n+1}\). ¿Converge en \(X\)?
Elige una opción.
Ver respuesta
- C. No: su único candidato a límite, \(0\), no está en \(X\)
Explicación
La sucesión se acerca a \(0\), pero \(0\notin X\). La convergencia exige que el límite pertenezca al espacio.
Repasa el concepto: Convergencia en un espacio métrico
Una sucesión \((x_n)\) en un espacio métrico \((X,d)\) converge a \(x\in X\) si, dado cualquier \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual \(x_n\) dista de \(x\) menos que \(\varepsilon\).
\[\forall\varepsilon>0\ \ \exists N:\ n\ge N\Rightarrow d(x_n,x)<\varepsilon\]
Más ejercicios de convergencia en un espacio métrico
- ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-001 En ℝ usual, ¿a qué límite converge x_n=1/n?
- ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-002 Para x_n=1/n y ε=0.01 en ℝ, ¿cuál es el menor N tal que d(x_n,0)<ε para todo n≥ N?
- ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-003 En ℝ^2 euclidiano, ¿a qué punto converge x_n=(tfrac1n,tfracn+1n)?
- ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-004 En ℝ con la métrica discreta, ¿cuál de estas sucesiones converge?
- ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-005 En ℝ usual, ¿qué ocurre con x_n=(-1)^n?
- ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-006 Si x_n→ x y x_n→ y en un espacio métrico, ¿qué argumento prueba que x=y?
- ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-008 En ℝ^2 con d_∞(p,q)=max(|p_1-q_1|,|p_2-q_2|), sea x_n=(tfrac1n,tfrac1n^2)→(0,0). ¿Cuál es el menor…
- ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-009 ¿Cuál afirmación es equivalente a x_n→ x?
← ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-006 ZW-CONVERGENCIA-EN-ESPACIO-METRICO-008 →