Sea X=ℕ con abiertos ∅ y U_k=\k,k+1,dots\, k≥1. ¿Es compacto?

Sí: todo abierto que contiene a 1 es X

No: los U_k no tienen subcubierta finita

Ejercicio · ZW-ESPACIO-COMPACTO-TOPOLOGICO-010 · ★★★ Avanzado

Sea \(X=\mathbb{N}\) con abiertos \(\varnothing\) y \(U_k=\{k,k+1,\dots\}\), \(k\ge1\). ¿Es compacto?

Elige una opción.

Ver respuesta

Una cubierta debe incluir un abierto que contenga a \(1\), y el único posible es \(U_1=X\). Ese solo abierto ya es una subcubierta finita.

Un espacio topológico \(X\) es compacto si toda cubierta abierta \(\mathcal{U}\) de \(X\) tiene una subcubierta finita.

\[X=\bigcup_{U\in\mathcal{U}}U\ \Rightarrow\ X=U_1\cup\dots\cup U_n,\ U_i\in\mathcal{U}\]