Ejercicio · ZW-ESPACIO-COMPACTO-TOPOLOGICO-007 · ★★☆ Intermedio
Sea \(X\) un conjunto infinito con la topología cofinita (los abiertos son \(\varnothing\) y los complementos de conjuntos finitos). ¿Es compacto?
Elige una opción.
A No: es infinito B No: no es discreto C Solo si \(X\) es numerable D Sí: un abierto no vacío deja fuera solo finitos puntos Ver respuesta D. Sí: un abierto no vacío deja fuera solo finitos puntos← Volver a la pregunta
Explicación Dada una cubierta, un abierto \(U\neq\varnothing\) omite solo finitos puntos; se cubre cada uno con un abierto más y resultan finitos abiertos en total.
Un espacio topológico \(X\) es compacto si toda cubierta abierta \(\mathcal{U}\) de \(X\) tiene una subcubierta finita.
\[X=\bigcup_{U\in\mathcal{U}}U\ \Rightarrow\ X=U_1\cup\dots\cup U_n,\ U_i\in\mathcal{U}\]
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