Ejercicio · ZW-ESPACIO-METRICO-COMPLETO-006 · ★★☆ Intermedio
Para \(x_n=1/n\) en \(\mathbb{R}\), ¿cuál es el menor \(N\) tal que \(|x_m-x_n|<0{,}01\) para todo \(m,n\ge N\)?
Elige una opción.
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- C. \(100\)
Explicación
Para \(m,n\ge N\), \(|1/m-1/n|<1/N\) (ambos términos están en \((0,1/N]\)), así que \(N=100\) sirve. Con \(N=99\), \(m=99\) y \(n\) grande dan una diferencia cercana a \(1/99>0{,}01\).
Repasa el concepto: Espacio métrico completo
Un espacio métrico \(X\) es completo si toda sucesión de Cauchy \((x_n)\) en \(X\) converge a un punto \(x\) de \(X\). Una sucesión es de Cauchy si sus términos terminan por estar arbitrariamente cerca entre sí.
\[(x_n)\ \text{de Cauchy}\ \Longrightarrow\ \exists\,x\in X:\ x_n\to x\]
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