Ejercicio · ZW-ESPACIO-METRICO-COMPLETO-004 · ★☆☆ Básico
Sobre un conjunto \(X\) se usa la distancia discreta: \(d(x,y)=1\) si \(x\neq y\) y \(d(x,x)=0\). ¿Es completo \((X,d)\)?
Elige una opción.
A No: ninguna sucesión de Cauchy converge. B Solo si \(X\) es finito. C Sí: toda sucesión de Cauchy es constante desde un índice, y por tanto converge. D No: la distancia solo toma dos valores. Ver respuesta C. Sí: toda sucesión de Cauchy es constante desde un índice, y por tanto converge.← Volver a la pregunta
Explicación Con \(\varepsilon=1/2\), \(d(x_m,x_n)<\varepsilon\) obliga a \(x_m=x_n\); la sucesión es constante desde un índice y converge a ese valor.
Un espacio métrico \(X\) es completo si toda sucesión de Cauchy \((x_n)\) en \(X\) converge a un punto \(x\) de \(X\). Una sucesión es de Cauchy si sus términos terminan por estar arbitrariamente cerca entre sí.
\[(x_n)\ \text{de Cauchy}\ \Longrightarrow\ \exists\,x\in X:\ x_n\to x\]
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