Ejercicio · ZW-ESPACIO-METRICO-COMPLETO-005 · ★☆☆ Básico
Si \(x_n\to x\) en un espacio métrico \((X,d)\), ¿qué afirmación es siempre cierta?
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- B. \((x_n)\) es una sucesión de Cauchy.
Explicación
Si \(d(x_n,x)<\varepsilon/2\) para \(n\ge N\), la desigualdad triangular da \(d(x_m,x_n)<\varepsilon\). El recíproco es lo que exige la completitud.
Repasa el concepto: Espacio métrico completo
Un espacio métrico \(X\) es completo si toda sucesión de Cauchy \((x_n)\) en \(X\) converge a un punto \(x\) de \(X\). Una sucesión es de Cauchy si sus términos terminan por estar arbitrariamente cerca entre sí.
\[(x_n)\ \text{de Cauchy}\ \Longrightarrow\ \exists\,x\in X:\ x_n\to x\]
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