Ejercicio · ZW-ESPACIO-METRICO-COMPLETO-008 · ★★☆ Intermedio
¿Cuál de estas sucesiones es de Cauchy en \(\mathbb{R}\)?
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- D. \(s_n=\sum_{k=1}^{n}2^{-k}\)
Explicación
\(s_n=1-2^{-n}\) converge a \(1\), luego es de Cauchy. \((-1)^n\) oscila con distancia \(2\) entre términos vecinos, y \(n\) y \(H_n\) crecen sin cota.
Repasa el concepto: Espacio métrico completo
Un espacio métrico \(X\) es completo si toda sucesión de Cauchy \((x_n)\) en \(X\) converge a un punto \(x\) de \(X\). Una sucesión es de Cauchy si sus términos terminan por estar arbitrariamente cerca entre sí.
\[(x_n)\ \text{de Cauchy}\ \Longrightarrow\ \exists\,x\in X:\ x_n\to x\]
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