Ejercicio · ZW-ESPACIO-METRICO-COMPLETO-009 · ★★★ Avanzado
Sobre \(\mathbb{R}\) se define \(d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|\) (es una distancia). ¿Es completo \((\mathbb{R},d)\)?
Elige una opción.
A Sí: coincide con la distancia usual. B No: \(x_n=n\) es de Cauchy, pues \(\arctan n\to\pi/2\), pero no converge en \(\mathbb{R}\). C No: \(d\) no cumple la desigualdad triangular. D Sí: \(\arctan\) es una función acotada. Ver respuesta B. No: \(x_n=n\) es de Cauchy, pues \(\arctan n\to\pi/2\), pero no converge en \(\mathbb{R}\).← Volver a la pregunta
Explicación Como \(\arctan n\to\pi/2\), \(d(x_m,x_n)\to0\). Un límite \(x\) exigiría \(\arctan x=\pi/2\), imposible. Aunque \(d\) y la usual tengan los mismos abiertos, la completitud no se conserva.
Un espacio métrico \(X\) es completo si toda sucesión de Cauchy \((x_n)\) en \(X\) converge a un punto \(x\) de \(X\). Una sucesión es de Cauchy si sus términos terminan por estar arbitrariamente cerca entre sí.
\[(x_n)\ \text{de Cauchy}\ \Longrightarrow\ \exists\,x\in X:\ x_n\to x\]
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