Ejercicio · ZW-HOMEOMORFISMO-TOPOLOGICO-010 · ★★★ Avanzado
Sea \(X=\{1,2,3,4\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\},X\). ¿Cuántos homeomorfismos \(X\to X\) hay?
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- C. 4
Explicación
Un homeomorfismo debe permutar los abiertos mínimos \(\{1\}\) y \(\{2\}\) entre sí (2 formas) y, como \(3\) y \(4\) están en los mismos abiertos, puede permutarlos libremente (2 formas): \(2\cdot2=4\). Las \(24\) biyecciones no sirven todas.
Repasa el concepto: Homeomorfismo
Una biyección \(f\) entre espacios topológicos \(X\) y \(Y\) que es continua y cuya inversa \(f^{-1}\) también es continua.
\[f:X\to Y\ \text{biyectiva};\quad f,\ f^{-1}\ \text{continuas}\]
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