Ejercicio · ZW-IMAGEN-CONTINUA-DE-COMPACTO-005 · ★☆☆ Básico
Sea \(\mathbb{N}\) con la topología discreta y \(f(n)=1/n\), continua. ¿Es compacta \(f(\mathbb{N})=\{1/n:n\ge1\}\) en \(\mathbb{R}\)?
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- B. No: \(\mathbb{N}\) discreto no es compacto y la imagen no es cerrada
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Explicación
El teorema pide dominio compacto y \(\mathbb{N}\) discreto no lo es. La imagen omite su punto límite \(0\), así que no es cerrada ni compacta.
Si \(f:X\to Y\) es continua y el espacio \(X\) es compacto, entonces la imagen \(f(X)\) es un subespacio compacto de \(Y\).
\[f(X)\ \text{compacto}\]
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